Metode Elemen Hingga. 17.12.2012. Teknik Mesin S1

Minggu lalu materi batang thurst telah berakhir dan sekarang kita masuk ke materi beam. Beam berbeda dengan thrust dalam hal gaya yang bekerja. Pada beam, gaya yang bekerja biasanya momen dan bending seperti pada jembatan, jalan, lantai, dan sejenisnya. Beberapa teori mengenai hal ini banyak dijumpai seperti metode defleksi, thimosenko, dan sebagainya.

Berikut ini diberikan contoh kasus, Diketahui A = 2 in, E = 3000000 psi, dan L = 10 cm.

Batang mengalami puntiran dan gaya tekan ke bawah antara elemen (1) dan elemen (2). Ujung kiri dan kanan tidak boleh bergerak (dijepit) dalam arah vertikal. Kita gunakan persamaan yang telah dijabarkan oleh Logan (2007):

                    (1)

Untuk elemen (1) dan elemen (2). Karena koordinat sudah tepat pada x dan y maka tidak perlu melakukan konversi koordinat lagi (tidak perlu tana ^ di atas koordinat). Setelah matriks kekakuan global ditentukan, hubungan gaya luar dengan pergeseran elemen (sudut dan jarak) dapat diketahui.

    (2)

Perhatikan kasus di atas untuk mengisi kondisi batas yang ada. Pemahaman kondisi batas sangat penting dalam menyelesaikan kasus yang dihadapi, minimal mengurangi variabel-variabel yang tidak terlibat. Berikut ini adalah kondisi batas yang diidentifikasi:

                    (3)

Akibatnya adalah persamaan (2) menjadi jauh lebih sederhana:

                        (4)

Buka Matlab, masukan variabel-variabel yang diketahui, E, I dan L serta gaya aksi F. Cari dengan instruksi d=inv(K)*F yang akan diperoleh pergeseran sudut dan jarak di elemen 2 dan 3.

>> A=2;

>> E=3000000;

>> I=500;

>> L=0.1;

>> K=[24 0 6*L;0 8*L*L 2*L*L; 6*L 2*L*L 4*L*L];

>> K2=(E*I/(L^3))*K;

>> F=[-1000;1000;0];

>> d=inv(K)*F

d =

1.0e+004 *

0.0240

1.5312

-1.1250

Metode Elemen Hingga. 09.12.2012. Teknik Mesin S1.

Pertemuan-pertemuan yang lalu telah dibahas metode elemen hingga pada pegas, thrust, heat transfer, dan fluida. Kali ini kita akan membahas konversi koordinat berbagai elemen karena sering dijumpai kita harus merubah koordinat-koordinat yang ada. Misalnya pada kasus batang thrust yang bergeser membentuk sudut alpha dari bidang normal.

Pada gambar di atas, koordinat baru berotasi sebesar tetha. Karena vektor yang baru terbentuk memiliki besar yang sama dengan sebelumnya hanya ada translasi saja, berlaku hubungan berikut ini:

Maka matriks defleksi yang baru (d_x).

Dengan C dan S berturut-turut Cos ᶿ dan Sin ᶿ. Misalnya kita memiliki kasus di bawah ini diketahui d_2x dan d_2y berturut-turut 0.1 dan 0.2 in.

Dimana K yang baru adalah:

Sebagai contoh sistem di bawah ini:

Jika E sebesar 30×10⁶ psi dengan nilai k sebesar:

Fluida secara matematis bisa didekatkan dengan batang thrust, pegas ataupun perpindahan panas. Berikut ini adalah contoh kasus pada batang yang dialiri fluida dengan dua titik 1 dan 2.

Dengan f, A, K, L, dan p berturut-turut debit, luas penampang, permeabilitas, panjang dan potensial, diperoleh hubungan berikut ini:

Dengan matriks kekakuannya sebesar:

Berikut ini contoh kasus yang akan kita kerjakan dengan bantuan aplikasi Matlab.

Luas penampang, A = 1 in². Tentukan kecepatan aliran di titik 2 dan titik 3 jika diketahui kecepatan aliran di titik 1 = 2 in/s. Jawab: Karena bentuknya seragam, matriks kekakuan elemen:

Yang menghasilkan bentuk persamaan umumnya:

Dari soal diketahui debit f₁=v₁A=2×1=2 in³/s. Pada elemen (1)

Masukan di Matlab instruksi berikut ini:

Sehingga diperoleh tekanan di titik 2 sebesar. Untuk mencari nilai kecepatan di titik 2 dan 3 gunakan hubungan:

Metode Elemen Hingga, 05.11.2012, T. Mesin S1

Berikut ini gambaran soal UTS Metode Elemen Hingga Teknik Mesin UNISMA (bae banget ya .. J). Buat programnya dalam bahasa Matlab, jika suhu atas, bawah, kiri dan kanan dimasukan suhu, akan diketahui Matriks suhunya disertai suhu pada titik-titik dalam Mesh itu (T₁, T₂, T₃, T₄, T₅ dan T₆).

Coba buat dengan disertai GUI jika mampu ( .. kyk pergi haji aja J), atau secara text-based juga tidak apa-apa. UTS nanti formasi nomor suhu, besar suhu, kemungkinan berbeda-beda tiap siswa. Lihat tulisan terdahulu untuk mengerjakannya.

Jika hitungan matematis sudah berjalan dengan normal di ‘Command Window’, kita akan membuat aplikasinya. Aplikasi pertama berbasis Konsol (Command prompt)/DOS. Ketik nama program di ‘Command Window’, misalnya ‘kalor’ >> Edit kalor. Ketika ada peringatan bahwa nama tersebut tidak ada berarti kita tekan ‘Yes’.

Berikutnya Anda masuk ke Editor M-File (M-File Editor) tempat dimana kode program dibuat. Kita akan membuat program dengan masukkan suhu bagian atas, kanan, kiri, dan bawah. Jika dieksekusi, akan keluar informasi kalor di titik 1, 2, 3, dan 4. Masukan kode program berikut ini:

1. function y=kalor()
   
2. Qatas=input(‘Masukkan suhu bagian atas : ‘);
   
3. Qbawah=input(‘Masukkan suhu bagian bawah : ‘);
   
4. Qkiri=input(‘Masukkan suhu bagian kiri : ‘);
   
5. Qkanan=input(‘Masukkan suhu bagian kanan : ‘);
   
6. Q=[-1*(Qbawah+Qkiri); -1*(Qbawah+Qkanan);-1*(Qkanan+Qatas);-1*(Qatas+Qkiri)]
   
7. M=[-4 1 0 1; 1 -4 1 0;0 1 -4 1;1 0 1 -4]
   
8. T=inv(M)*Q
   
9. pause
   

Baris kedua – lima bermaksud mengambil masukan kalor yang menempel di pinggir kotak, yang kemudian dikumpulkan dalam satu matriks Q dengan mengkonversi dari kombinasi kiri, atas, bawah, dan kanan. Baris 7 memasukan matriks kalor, dilanjutkan dengan menghitung Matriks suhu di baris 8. Hasilnya sebagai berikut:

>> 200

ans =

200

>> kalor

Masukkan suhu bagian atas : 300

Masukkan suhu bagian bawah : 500

Masukkan suhu bagian kiri : 400

Masukkan suhu bagian kanan : 200

Q =

-900

-700

-500

-700

M =

-4 1 0 1

1 -4 1 0

0 1 -4 1

1 0 1 -4

T =

400.0000

350.0000

300.0000

350.0000

Metode Elemen Hingga, Tgl. 15.10.12, Lab Software

Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) merupakan metode komputasi yang membagi suatu bidang yang akan diukur tegangan, suhu, arus, debit, dan sejenisnya, menjadi bagian-bagian kecil yang sederhana. Misalnya kita akan melihat suhu di titik-titik tertentu suatu bangun di bawah ini:

Dengan persamaan kalor dihasilkan matriks persamaan sebagai berikut, analisa sendiri ya mengapa bisa begitu?

Untuk menghitung T1 hingga T4, cara mudahnya adalah membentuk matriks agar bisa diolah langsung dengan menggunakan Matlab.

1. >> M=[-4 1 0 1; 1 -4 1 0;0 1 -4 1;1 0 1 -4]
2. >> Q=[-900;-700;-500;-700]
3. >> T=inv(M)*Q

   T =

   400.0000

   350.0000

   300.0000

   350.0000

Baris 1 merupakan matriks kalor tersebut, baris 2 matriks suhu, dan baris 3 adalah menghitung Suhu di tiap titik, dimana T1, T2, T3, dan T4 berturut-turut dari kolom 1 hingga kolom 4.