Kisah Unik Matematikawan Dodgson – Dodgson Condensation

Membaca tulisan yang membahas seorang ahli matematika abad 19, Reverend Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) cukup menarik juga. Ahli matematika ini ternyata menulis cerita terkenal “Alice in Wonderland” dan “Through the Looking Glass” dengan nama samaran Lewis Carroll. Dikisahkan bahwa Ratu Victoria ternyata kagum dengan cerita “Alice in Wonderland” sehingga ketika selesai membaca dia meminta bawahannya untuk membawakan buku karangan Lewis Carroll (yang nama aslinya Dodgson) yang lain. Tidak berapa lama kemudian tibalah bawahannya tersebut dengan membawa buku Dodgson yang berjudul “Elementary Theorems Relating to Determinants” yang ternyata buku matematika .. haha.

Metode Kondensasi Dodgson

Metode terkenal ini sangat ampuh untuk menghitung determinan matriks dengan jumlah baris dan kolom yang banyak. Tentu saja penting di jaman dulu ketika komputer (atau minimal kalkulator) belum ditemukan. Postingan ini sedikit banyak membahas metode ini, sebagai kelanjutan post terdahulu tentang invers matriks 4×4.

Misal sebuah matriks A dengan ukuran lebih besar atau sama dengan 3×3 dengan matriks dalam (interior matrix) menyatakan matriks (n-2)x(n-2) hasil penghilangan baris awal, akhir dan kolom awal serta akhir (kalau pusing, langsung loncat ke contoh kasus di bawah ya). Metode kondensasi Dodgson terdiri dari empat langkah/tahap antara lain:

  • Gunakan metode operasi baris dan kolom untuk menghilangkan nol dari matriks dalam (interior).
  • Cari determinan matriks 2×2 untuk tiap-tiap empat elemen untuk membentuk matriks baru berukuran lebih kecil (n-1)x(n-1), misalnya diberi nama matriks B.
  • Ulangi langkah sebelumnya untuk matriks (n-2)x(n-2) lalu bagi tiap elemen menurut interior original matriks A, untuk memperoleh matriks C.
  • Lanjutkan terus “kondensasi” di atas sampai hasil satuan ditemukan. Nilai ini merupakan determinan dari matriks A.

Sebagai ilustrasi ada baiknya menggunakan contoh kasus. Lebih mudah khususnya orang teknik yang suka praktis-praktis seperti saya, hehe. Diketahui matriks A.

Karena tidak ada nol di interior, langsung ke langkah 2 untuk mencari matriks B hasil penentuan determinan. Misalnya untuk sisi kiri atas serta sampingnya.

Lanjutkan hingga seluruh matriks A sehingga matriks B dari tahap kedua adalah sebagai berikut:

Tampak matriks A berukuran 5×5 menjadi (5-1)x(5-1) di atas. Tahap ketiga selanjutnya meneruskan kondensasi menghasilkan matriks 3×3, misalnya untuk bagian kiri atas.

Teruskan untuk sisi-sisi lainnya sehingga diperoleh matriks C

Lanjutkan dengan cara yang sama hingga menjadi matriks D. Di sini istilah kondensasi sepertinya ada benarnya. Ibarat embun yang timbul dari uap air yang terkumpul di udara.

Nah berikutnya adalah membagi matriks terakhir D ini (terkecil) dengan interior dari Matriks B yakni:

Tiap elemen matriks D dibagi mengikuti posisi int B, misalnya -84 dibagi -6, -580 dibagi 2, dan seterusnya hingga diperoleh matriks E:

Dengan mudah kita menghitung determinan matriks E ini dengan cara biasa det=14*(-109)-421*(-290) yang menghasilkan 120564. Apakah sudah selesai? Belum, dikit lagi yaitu membagi nilai tersebut dengan interion matriks C yang bernilai 36. Dan hasil akhirnya adalah 3349. Sekian semoga bermanfaat.

 

Iklan

Menghitung Determinan dan Invers Matriks 4×4 – Bag 2

Postingan yang lalu kita menghitung matriks 4×4 dengan metode sarrus yang sedikit ribet. Sekarang kita coba dengan menggunakan metode operasi baris dan kolom yang sedikit “logis”. Kita terapkan metode ini untuk matriks 4×4 setelah pada postingan yang lalu kita gunakan untuk matriks 2×2 dan 3×3. Buat M-File baru, cara gampangnya ketik aja di Command Window “edit segitiga” yang akan membuka editor di M-File editor dengan nama segitiga.m, dan jangan khawatir jika Matlab menanyakan bahwa Script segitiga tidak ada (karena memang ingin kita buat), lanjutkan saja dengan menekan OK.

Baris kedua membuat matriks berangkai yang tadinya 4×4 menjadi 4×8 karena kita akan menggunakan prinsip x = [I][inv(x)]. Pada line 4 sampai 9 kode di atas adalah membuat segitiga atas, dilanjutkan dengan segitiga bawah. Segitiga atas menghasilkan nol di bawah diagonal, sebaliknya segitiga bawah menhasilkan nol di atas diagonal. Hasilnya adalah nol selain di diagonal yang kemudian pada line 18 hingga 21 menghailkan matriks diagonal satuan (seluruh diagonal bernilai satu). Uji coba dengan command window dengan memasukan bilangan random 4×4 yang akan dicari inversnya.

Dilanjutkan dengan menjalankan M-file yang baru saja kita buat.

Cek dengan menggunakan fungsi INV di Matlab apakah sama dengan hasil di atas? Jika sama berarti kode Anda benar, Oiya, gunakan kondisi jika kebetulan Matriks yang akan dicari inversnya tidak memiliki invers (determinannya nol) .. Selamat Mencoba!

UAS Aljabar Linear

Aljabar Linear. 03.01.2013. Teknik Komputer

Akhirnya kita sampai pada pertemuan terakhir, yaitu membahas materi yang akan diujikan pada Ujian Akhir Semester (UAS) nanti. Karena ada pemisahan kelas menjadi dua kelas (kelas selasa dan kamis), dan ada perbedaan jumlah nilai tugas harian akibat banyaknya libur di hari selasa, untuk menyamakan dengan kelas Kamis, maka untuk kelas SELASA, saat UAS nanti diharapkan mengumpulkan tugas perkalian matriks dengan Java Script. Tugas merupakan tugas satu kelas, tetapi jika ada siswa yang merasa tidak puas dengan jawaban kelas dapat mengumpulkan tugas sendiri atau berkelompok. Tugas perkalian matriks dikerjakan dengan mencontoh tulisan saya sebelumnya tentang penjumlahan matriks (Membuat Matriks dengan Java Script) dengan mengganti bagian penjumlahan dengan perkalian. Sementara itu, algoritma untuk perkalian dapat kalian perhatikan tulisan Mengalikan Matriks 3 x 3 dengan mengurangi bagian I,j, dan c dari 3 menjadi 2.

Soal UAS berkisar seputar mencari invers matriks dengan menggunakan manipulasi baris yang dikenal dengan nama eliminasi Gauss. Perhatikan tulisan Mencari Invers dengan Operasi Baris dan coba latihan dengan angka yang lain, uji jawabannya dengan Matlab lewat fungsi INV. Jangan lupa syarat suatu matriks dapat dicari inversnya adalah determinannya nol. Tiap siswa kemungkinan besar berbeda matriks yang ada pada soal karena soal berdasarkan NIM masing-masing. Sifat ujian buku terbuka, bawa perlengkapan seperlunya seperti pulpen (jangan pensil ya, nggak jelas), kalkulator, dan lain-lain, juga tidak perlu acara bakar ban J.

Membuat Matriks dengan Java Script

Aljabar Linear. 31.12.2012. Teknik Komputer

Untuk materi UAS nanti berikut ini teknik membuat matriks dengan Java Script setelah pada pertemuan yang lalu membuat vektor. Berbeda dengan vektor, Matriks masuk dalam kategori array multi dimensi. Kode berikut ini menunjukkan penjumlahan matriks A dan B yang berukuran 2×2 menjadi Matriks C.

<HTML>

<HEAD>

<TITLE>Membuat Matriks

</TITLE>

<SCRIPT LANGUAGE = “JavaScript”>

</SCRIPT>

</HEAD>

<BODY>

<SCRIPT LANGUAGE = “JavaScript”>

document.writeln(“Membuat MATRIKS”)

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(” A = “)

var a = new Array (2);

a[0]=new Array(2);

a[1]=new Array(2);

a[0][0]=1;a[0][1]=2;a[1][0]=3;a[1][1]=4;

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(a[0][0])

document.writeln(a[0][1])

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(a[1][0])

document.writeln(a[1][1])

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

var b = new Array (2);

b[0]=new Array(2);

b[1]=new Array(2);

b[0][0]=5;b[0][1]=6;b[1][0]=7;b[1][1]=8;

document.writeln(” B = “)

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(b[0][0])

document.writeln(b[0][1])

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(b[1][0])

document.writeln(b[1][1])

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(” C = “)

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

var c = new Array (2);

c[0]=new Array(2);

c[1]=new Array(2);

for (var i=0; i<2; i++)

    for (var j=0; j<2; j++)

    c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];

document.writeln(c[0][0])

document.writeln(c[0][1])

document.writeln(“<PRE>”)

document.writeln(“</PRE>”)

document.writeln(c[1][0])

document.writeln(c[1][1])

</SCRIPT>

</BODY>

</HTML>

Simpan dengan ekstensi .htm pada notepad atau text editor lainnya. Coba buat perkalian matriks dengant teknik seperti pada bahasa pemrograman C/C++. NOTE: ketik ulang tanda petik “” jika co-pas dari blog ini.

Membuat Vektor dengan Java Script

Aljabar Linear. 27.12.2012. Tek Komputer

Java Script merupakan salah satu bahasa berbasis web yang banyak digunakan oleh programmer. Oleh karena itu kita coba membuat vektor dengan Java Script. Metode yang kita gunakan adalah dengan membuat variabel array. Misal kita akan membuat vektor a dengan isi 1,2, dan 3. Gunakan listing berikut:

<HTML>

<HEAD>

<TITLE>Membuat Vektor

</TITLE>

<SCRIPT LANGUAGE = “JavaScript”>

</SCRIPT>

</HEAD>

<BODY>

<SCRIPT LANGUAGE = “JavaScript”>

document.writeln(“Membuat Vektor”)

document.writeln(“<PRE>”);

document.writeln(” A = “)

var a = new Array (1,2,3);

    for (var i = 0; i < 3; i++)

    document.writeln(a[i])

</SCRIPT>

</BODY>

</HTML>

Buat dengan notepad, jangan lupa ketika menyimpan ekstensinya beri nama .htm. Jika sudah berjalan normal, coba buat matriks. Matriks merupakan array multidimensi (lebih dari satu dimensi). Untuk input data secara interaktif, gunakan prompt pada kode programnya.

<HTML>

<HEAD>

<TITLE>Membuat Vektor

</TITLE>

<SCRIPT LANGUAGE = “JavaScript”>

</SCRIPT>

</HEAD>

<BODY>

<SCRIPT LANGUAGE = “JavaScript”>

document.writeln(“Membuat Vektor”)

document.writeln(” A = [“)

var a = new Array (10);

    for (var i = 0; i < 10; i++)

        a[i]=prompt(“Masukan Vektor”)

    for (var i = 0; i < 10; i++)

        document.writeln(a[i])

    document.writeln(” ]”)

</SCRIPT>

</BODY>

</HTML>

Jika disimpan dan dijalankan menghasilkan hasil sebagai berikut. Pertama-tama Anda diminta mengisi vektornya:

Pada kode, tertulis vector yang dimasukan sebanyak 10 buah, sehingga ketika dijalankan browser (saya menggunakan internet explorer 8) akan menampilkan form isian (tiap browser menampilkan bentuk yang berbeda – sepertinya yg paling bagus menurut saya sih Mozilla).

Membuat Inversi matriks 2×2 dan 3×3 dengan Matlab

Aljabar Linear. 18.12.2012. T. Komputer

Berikut ini listing dengan m-file mencari inversi matriks dengan metode operasi baris pada matriks untuk matriks 2×2 dan 3×3. Buka command window dan ketik, misalkan kita ingin memberi nama fungsi tersebut dengan nama fungsi inversi. Ketik kode berikut:

  • function y=inversi(x)
  • %mencari invers matriks 2×2 dengan
  • %operasi baris pada matriks
  • %eliminasi gauss
  • x=[x eye(2,2)]
  • x(2,:)=x(2,:)-((x(2,1)/x(1,1)*x(1,:)));
  • x(1,:)=x(1,:)-((x(1,2)/x(2,2)*x(2,:)));
  • x(1,:)=x(1,:)/x(1,1);
  • x(2,:)=x(2,:)/x(2,2);
  • y=[x(:,3) x(:,4)];

>> x=[2 5;6 8]

inversi(x)

x =

2 5 1 0

6 8 0 1

ans =

-0.5714 0.3571

0.4286 -0.1429

Sedangkan untuk matriks 3×3, misalkan kita akan membuat fungsi dengan nama inversi33. Ketik di command window edit inversi33. Ketik kode berikut (sengaja dalam bentuk gambar supaya ngetik sendiri).

Uji di command window dan bandingkan dengan fungsi bawaan Matlab, inv. Bagaimana untuk matriks 4×4 atau yang di atasnya? caranya gampang, gunakan prinsip di atas, atau lihat postingan berikutnya.