Aljabar Linear. 18.12.2012. T. Komputer

Berikut ini listing dengan m-file mencari inversi matriks dengan metode operasi baris pada matriks untuk matriks 2×2 dan 3×3. Buka command window dan ketik, misalkan kita ingin memberi nama fungsi tersebut dengan nama fungsi inversi. Ketik kode berikut:

• function y=inversi(x)
  
• %mencari invers matriks 2×2 dengan
  
• %operasi baris pada matriks
  
• %eliminasi gauss
  
• x=[x eye(2,2)]
  
• x(2,:)=x(2,:)-((x(2,1)/x(1,1)*x(1,:)));
  
• x(1,:)=x(1,:)-((x(1,2)/x(2,2)*x(2,:)));
  
• x(1,:)=x(1,:)/x(1,1);
  
• x(2,:)=x(2,:)/x(2,2);
  
• y=[x(:,3) x(:,4)];
  

>> x=[2 5;6 8]

inversi(x)

x =

2 5 1 0

6 8 0 1

ans =

-0.5714 0.3571

0.4286 -0.1429

Sedangkan untuk matriks 3×3, misalkan kita akan membuat fungsi dengan nama inversi33. Ketik di command window edit inversi33. Ketik kode berikut (sengaja dalam bentuk gambar supaya ngetik sendiri).

Uji di command window dan bandingkan dengan fungsi bawaan Matlab, inv. Bagaimana untuk matriks 4×4 atau yang di atasnya? caranya gampang, gunakan prinsip di atas, atau lihat postingan berikutnya.

Mat. Diskrit. 18.12.2012. Tek. Komputer

Selain dengan Determinan dan Cofactor, mencari invers dapat dilakukan dengan operasi baris pada matriks antara lain:

1. Merubah posisi dua baris dalam suatu matriks
2. Mengalikan seluruh baris dengan suatu konstanta
3. Menambahkan/mengurangkan kelipatan suatu baris terhadap baris lainnya

Berikut ini ilustrasi pengerjaannya dengan contoh suatu matriks:

Sebelumnya, kita hitung dulu determinannya, Det = 22 dan karena tidak sama dengan nol, maka matriks M tersebut memiliki invers. Jejerkan dengan matriks identitas:

Tugas kita adalah melakukan eliminasi gauss agar dihasilkan matriks kiri menjadi matriks identitas. Pertama-tama kalikan baris pertama dengan ½.

Tambahkan tiga kali baris pertama dengan baris kedua sehingga dihasilkan:

Tugas berikutnya adalah membuat elemen baris pertama kolom kedua menjadi nol dengan mengalikan baris kedua dengan 2/11 yang dilanjutkan dengan mengurangi dengan baris pertama sehingga dihasilkan:

Akhirnya, kalikan baris kedua dengan 1/11 agar dihasilkan matriks identitas di bagian kiri:

Setelah matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas, maka Matrks inversnya adalah yang di sebelah kanan yakni:

Berikut ini cara mengerjakan dengan Aplikasi Matlab:

>> M=[2 4;-3 5];

>> M=[M eye(2,2)]

M =

2 4 1 0

-3 5 0 1

>> M(1,:)=M(1,:)*1/2

M =

1.0000 2.0000 0.5000 0

-3.0000 5.0000 0 1.0000

>> M(2,:)=3*M(1,:)+M(2,:)

M =

1.0000 2.0000 0.5000 0

0 11.0000 1.5000 1.0000

>> M(2,:)=M(2,:)*1/11

M =

1.0000 2.0000 0.5000 0

0 1.0000 0.1364 0.0909

>> M(1,:)=M(1,:)-2*M(2,:)

M =

1.0000 0 0.2273 -0.1818

0 1.0000 0.1364 0.0909

>> InvM=[M(:,3) M(:,4)]

InvM =

0.2273 -0.1818

0.1364 0.0909

Sumber: Krantz(2009) “Descrete Mathematic Demystified”

Untuk perkalian matriks kita harus mengetahui syarat perkalian dua matriks dimana kolom matriks bagian kiri harus sama dengan baris matriks bagian kanan. Jika tidak memenuhi, program sebaiknya memberi pesan. Hasilnya pun kita harus tahu, yakni berukuran baris matriks bagian kiri dan kolom matriks bagian kanan. Misal kita akan mengalikan matriks berukuran 2×3 dengan 3×2, maka hasil matriksnya adalah 2×2. Karena kasus yang akan kita coba adalah mengalikan matriks 3×3 dengan 3×3, maka dengan mudah kita mendapatkan hasil matriks 3×3 juga. Dengan kode pada tulisan terdahulu, tambahkan di bawahnya kode berikut (jangan lupa deklarasikan int a,b, dan c terlebih dahulu).

//mengalikan matriks A x B

for(a=0;a<3;a++)

{

    for(b=0;b<3;b++)

    {

        X[a][b]=0;

        for(c=0;c<3;c++)

        {

            X[a][b]=X[a][b]+A[a][c]*B[c][b];

        }

    }

}

cout<<“Hasil Kali = \n”;

for(a=0;a<3;a++)

{

    for(b=0;b<3;b++)

    {

        cout<<X[a][b]<<” “;

    }

    cout<<” \n”;

}

Kebetulan matriks 3×3 unik, berikutnya kita akan coba mengalikan dua matriks yang ukurannya bervariasi.

Sebelum masuk ke praktek mengalikan dua buah matriks, ada baiknya berlatih terlebih dahulu memasukan dua buah matriks yang akan dikalikan, misalnya matriks A dan B. Buka Turbo/Borland C++ dan ketik instruksi sebagai berikut:

1. #include<stdio.h>
2. #include<iostream.h>
3. void main()
4. {
5. int i,j,A[3][3],B[3][3];
6. //menginput matriks A
7. cout<<“Masukkan Matriks A \n”;
8. for(i=0;i<3;i++)
9. {
   1. for(j=0;j<3;j++)
   2. {
      1. cout<<“Masukkan Elemen Matriks ke “<<(i+1)<<“,”<<(j+1)<<” :”;
      2. cin>>A[i][j];
   3. }
10. }
11. //menginput matriks B
12. cout<<“Masukkan Matriks B \n”;
13. for(i=0;i<3;i++)
14. {
    1. for(j=0;j<3;j++)
    2. {
       1. cout<<“Masukkan Elemen Matriks ke “<<(i+1)<<“,”<<(j+1)<<” :”;
       2. cin>>B[i][j];
    3. }
15. }
16. //menampilkan matriks A
17. cout<<“Matriks A = \n”;
18. for(i=0;i<3;i++)
19. {
    1. for(j=0;j<3;j++)
    2. {
       1. cout<<A[i][j]<<” “;
    3. }
    4. cout<<“\n”;
20. }
21. //menampilkan matriks B
22. cout<<“Matriks B = \n”;
23. for(i=0;i<3;i++)
24. {
    1. for(j=0;j<3;j++)
    2. {
       1. cout<<A[i][j]<<” “;
    3. }
    4. cout<<“\n”;
25. }
26. }

Jalankan dengan menekan Ctrl-F9 atau mengklik “Debug” – “Run”.

Berikutnya akan kita coba mengalikan dua matriks tersebut.

Now we try to make a Matrix 3 x3 using Turbo/borlan C++. In C/C++, we use array algorithm for creating a matrix. Open Turbo/Borland C++, create new “cpp” file, type code like this:

Remember, if we use function ‘cout’ we must type at the header #include<iostream.h>. Look at carefully line int A[3][3]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};. It means that we create a matrix 3×3 similar to matrix in matlab:

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

Loops ‘for’ at that code are only for showing the content of array/matrix A[3][3]. Try code for create matrix interactively using keyboard input. Use function ‘cin’ and loops ‘for’ for positioning the element of matrix.