Membaca tulisan yang membahas seorang ahli matematika abad 19, Reverend Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) cukup menarik juga. Ahli matematika ini ternyata menulis cerita terkenal “Alice in Wonderland” dan “Through the Looking Glass” dengan nama samaran Lewis Carroll. Dikisahkan bahwa Ratu Victoria ternyata kagum dengan cerita “Alice in Wonderland” sehingga ketika selesai membaca dia meminta bawahannya untuk membawakan buku karangan Lewis Carroll (yang nama aslinya Dodgson) yang lain. Tidak berapa lama kemudian tibalah bawahannya tersebut dengan membawa buku Dodgson yang berjudul “Elementary Theorems Relating to Determinants” yang ternyata buku matematika .. haha.

Metode Kondensasi Dodgson

Metode terkenal ini sangat ampuh untuk menghitung determinan matriks dengan jumlah baris dan kolom yang banyak. Tentu saja penting di jaman dulu ketika komputer (atau minimal kalkulator) belum ditemukan. Postingan ini sedikit banyak membahas metode ini, sebagai kelanjutan post terdahulu tentang invers matriks 4×4.

Misal sebuah matriks A dengan ukuran lebih besar atau sama dengan 3×3 dengan matriks dalam (interior matrix) menyatakan matriks (n-2)x(n-2) hasil penghilangan baris awal, akhir dan kolom awal serta akhir (kalau pusing, langsung loncat ke contoh kasus di bawah ya). Metode kondensasi Dodgson terdiri dari empat langkah/tahap antara lain:

• Gunakan metode operasi baris dan kolom untuk menghilangkan nol dari matriks dalam (interior).
• Cari determinan matriks 2×2 untuk tiap-tiap empat elemen untuk membentuk matriks baru berukuran lebih kecil (n-1)x(n-1), misalnya diberi nama matriks B.
• Ulangi langkah sebelumnya untuk matriks (n-2)x(n-2) lalu bagi tiap elemen menurut interior original matriks A, untuk memperoleh matriks C.
• Lanjutkan terus “kondensasi” di atas sampai hasil satuan ditemukan. Nilai ini merupakan determinan dari matriks A.

Sebagai ilustrasi ada baiknya menggunakan contoh kasus. Lebih mudah khususnya orang teknik yang suka praktis-praktis seperti saya, hehe. Diketahui matriks A.

Karena tidak ada nol di interior, langsung ke langkah 2 untuk mencari matriks B hasil penentuan determinan. Misalnya untuk sisi kiri atas serta sampingnya.

Lanjutkan hingga seluruh matriks A sehingga matriks B dari tahap kedua adalah sebagai berikut:

Tampak matriks A berukuran 5×5 menjadi (5-1)x(5-1) di atas. Tahap ketiga selanjutnya meneruskan kondensasi menghasilkan matriks 3×3, misalnya untuk bagian kiri atas.

Teruskan untuk sisi-sisi lainnya sehingga diperoleh matriks C

Lanjutkan dengan cara yang sama hingga menjadi matriks D. Di sini istilah kondensasi sepertinya ada benarnya. Ibarat embun yang timbul dari uap air yang terkumpul di udara.

Nah berikutnya adalah membagi matriks terakhir D ini (terkecil) dengan interior dari Matriks B yakni:

Tiap elemen matriks D dibagi mengikuti posisi int B, misalnya -84 dibagi -6, -580 dibagi 2, dan seterusnya hingga diperoleh matriks E:

Dengan mudah kita menghitung determinan matriks E ini dengan cara biasa det=14*(-109)-421*(-290) yang menghasilkan 120564. Apakah sudah selesai? Belum, dikit lagi yaitu membagi nilai tersebut dengan interion matriks C yang bernilai 36. Dan hasil akhirnya adalah 3349. Sekian semoga bermanfaat.